Transformasi laplace adalah metode transformasi yang digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial yang digagas oleh Piere Simon Laplace. Pierre Simon Laplace pertama kali mengembangkan transformasi ini memang hanya bermaksud untuk mempermudah penyelesaian persamaan deferensial dalam matematik. Perkembangannya transformasi laplace banyak digunakan di bidang fisika, optik, kendali dan pengolahan sinyal. Transformasi laplace digunakan untuk penyele
sain sistem linier tidak ubah waktu (LTI). Pada rangkaian listrik, devais optik, sistem kendali kita dapat menganalis menggunakan tran
sformasi laplace. Contoh sederhananya adalah pada rangkaian listrik dengan sumber tegangan v(t) dihubungkan dengan saklar on off dengan induktor, resistor dan kapasitor secara seri. Apabila terjadi perubahan arus saat saklar dari kondisi terbuka kemudian di tutup maka akan didapatkan persamaaan deferensial integral sebagai berikut
v(t)=i(t)R+L.di(t)/dt+(1/C)Integral(I(t)dt
dengan menerapkan deferensial pada kedua suku maka akan didapatkan
v'(t)=L.i”(t)+R.i'(t)+i(t)/C
Persamaaan deferensial tersebut dengan mudah dapat diselesaikan dengan transformasi Laplace. Transformasi laplace sendiri mempunya rumusan sebagai berikut
F(s)=L{f(t)}= integral seluruh waktu ( f(t)e^(-st))dt
Untuk laplace satu sisi:
F(s)=L{f(t)}= integral dari nol sampai tak hingga ( f(t)e^(-st))dt
dengan s=a+jw
Laplace dari sebuah sistem atau suatu sinyal bisa dihitung dengan rumusan tersebut. Tabel laplace dapat mempermudah untuk mendapatkan transformasi laplace dari suatu sinnyal atau sistem. Kita tinggal memakai acuan dalam tabel untuk menentukan tranformasi laplace maupun transformasi balik laplace. Transformasi laplace digunakan untuk penyelesain sistem waktu kontinyu. Transformasi laplace dari tanggapan impuls sistem h(t) akan menhasilkan H(s) yang dikenal sebagai transfer function atau fungsi alih sistem. Analasis terhadap fungsi alih sistem adalah salah satu metode analisis sistem. Pemodelan sistem kontinyu biasaya dilakukan dalam kawasan .Transformasi laplace digunakan untuk menganalis dan mencari solusi dari sebuah sistem. Pada contoh rangkaian listrik yang disebutkan diatas dengan mudah kita dapat melihat di tabel dan melaplacekan tiap suku dari persamaan tersebut sehingga didapatkan
V(s)=L.(s^2.I(s)+s.i(0)+i'(0)) + R(s.I(s)-i(0)) +(1/C)I(s)
Dengan anggapan kondisi awal adalah nol dan i(t) adalah keluaran maka didapatan fungsi alih sistem
H(s)= 1/(L.s^2 + R.s +1/C)
Sebagai contoh lainnya, dalam bidang teknik kendali kita dapat melakukan simulasi input output sebuah sistem yang kita bangun. misalkan kita ingin membangun suatu sistem penampungan limbah dengan tiga buah tangki pemroses limbah dengan satu masukan dari sistem pembuangan limbah yang dapat diatur volume yang masuk. Laju dari tangki satu ke tangki lainnya juga dapat diatur. Maka secara sederhana kita dapat memodelkan sistem tersebut dengan menggunakan analogi rangkaian R L dan C. Kapasitas dapat diwakili dengan C, katup pengatur tiap tangki dapat diwakili dengan R. Laju masukan limbah dapat diwakili dengan Q1 dan laju keluaran limbah dapat diwakili dengan Q2. Maka dengan menelusuri dari tangki pertama dengan menganalisa hubungan masukan dan keluaran dari tangki tersebut dan karakteristiknya akan didapatkan suatu fungsi alih H1(s) yang merupakan representasi hubungan input outpu dari tangki pertama. Keluaran tangki pertama akan menjadi masukan tangki kedua sehingga sistem ini dapat dikategorikan sebagai sistem cascade. Dengan menganalisnya maka kita juga akan mendapatkan H2(s) sebagai fungsi alih tangki kedua, demikian halnya dengan tangki ketiga. Dengan menggabung komponen-komponen kecil dari penyusun sistem tersebut maka kita akan dapatkan diagram blok sistem dalam representasi s.Diagram blok sistem tersebut dengan mudah dapat kita selesaikan menggunakan aljabar diagram blok untuk mendapatkan fungsi alih sistem secara keseluruhan. Apabila fungsi alaih sistem sudah didapatkan maka analisis terhadap sistem akan menjadi mudah. Kita dapat mengetes sistem tersebut terhadap beberapa masukan untuk mendapatkan keluarannya.Pemodelan sistem dan analis sistem melalui simulasi menjadi sangat penting karena prototipe tanpa didahului pemodelan dan analisis terhadap model akan membuat peluang kegagalan protipe besar. Dan hal ini akan memakan biaya banyak. Bisa dibayangkan berapa biaya jika pembangunan sebuah pengolah limbah seperti pada contoh yang dikemukan langsung pada trial error sistem nyata. Bahkan untuk prototyping saja sudah memakan biaya banyak. Tentunya hal yang murah adalah pemodelan sistem dan uji coba komputer based karena perubahan nilai parameter desain semudah mengetikkan angka baru nilai parameter tersebut tanpa biaya apapun kecuali biaya license software jika software design menggunakan software komersial. Dengan berkembangnya metode numeris yang sangat pesat, maka analisis sebuah sistem yang berbasis fungsi alih sistem dalam s dapat dikerjakan dengan software seperti Matlab dan Scilab. Dengan leluasa kita bisa membuat model sistem dengan simulink dan mengamati karakteristik sistem dengan berbagai masukan tes. Dasar-dasar transformasi laplace menjadi sangat penting untuk mendapatkan pemahaman yang komprehensif sehingga dapat memodelkan sistem dengan baik. Mengenai syntax akan dengan mudah dikuasai jika kita mencoba. Mungkin bagi yang belum pernah dapat mencoba dengan membaca help dari syntax lti dan tf. Pemodelan sistem juga dapat dilakukan dengan membuat sistem dengan simulink yang tersedia pada Matlab. Yang harus dipahami adalah penurunan dari karakteristik fisik atau elektronik ke model sistem.
2. TRANSFORMASI FOURIER
Transformasi fourier adalah transformasi yang dapat merubah suatu sinyal dari domain waktu s(t) kedalam domain frekuensi S(f).Fungsi dilakukanya transformasi ini bertujuan untuk mendapatkan informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu atau tidak.Transformasi Fourier menggabungkan sinyal ke bentuk fungsi eksponensial dari frekuensi yang berbeda-beda. Caranya adalah dengan didefinisikan ke dalam persamaan berikut:Dapat kita katakan dari dua persamaan diatas bahwa X(f) adalah transformasi Fourier dari x(t) yang mengubah x(t) dari domain waktu ke domain frekuensi,dan untuk persamaan ke2 adalah kebalikan dari persamaan ke1 atau bisa di sebut dengan invers transformasi faurier.Dibawah ini contoh dari transformasi fourier,dari domain waktu ke domain frekuensi. Pada gambar di atas,di bagian kiri merupakan sinyal asli dari domain waktu.dan Sisi sebelah kanan merupakan hasil transformasi fourier .Kelebihan Transformasi fourierDefinisi transformasi fourier sebagai tool/alat untuk mengubah suatu sinyal dari kawasan waktu ke kawasan frekuensi,menjelaskan kepada kita bahwa transformasi ini memiliki kelebihan:1. Mampu menunjukkan kandungan frekuensi yang terkandung di dalam sinyal.2. Mampu menunjukan beberapa banyak komponen frekuensi yang ada di dalam sinyal.Kekurangan Transformasi Fourier Dibalik kelebihan yang ada,ternyata transformasi ini memiliki keterbatasan.keterbatasan ini menjadi kekurangan yang cukup fatal untuk transformasi fourier.Kekuranganya adalah:Transformasi Fourier hanya dapat menangkap informasi apakah suatu sinyal memiliki frekuensi tertentu atau tidak, tapi tidak dapat menangkapdimana frekuensi itu terjadi.
3. Transformasi Z
Transformasi Z merupakan suatu metode untuk menganalisis data yang pengolahannya menggunakan komputer seperti data-data geofisika, dan juga data - data lapangan lainnya.Data - data yang ada berbentuk kontinu, namun komputer tidak mengerti data yang berbentuk kontinu, sehingga perlu deskritasi untuk analisis dengan komputer yaitu dengan cara sampling data atau mengambil sebagian data dari keseluruhan data .Metode sampling data bisa merusakkan data yang ada, sehingga untuk menghindari kerusakan data maka diperlukan rumus matematika yaitu Transformasi Z
Ada bebarapa bentuk transformasi Z yang dapat diaplikasikan seperti dalam bentuk grafik, vektor, dan polynomial.
1.Gravik
2. Vektor
Jika dalam bentuk vektor biasanya di tulis seperti
B(t) = (..., 0,0, 1, 2, 0, -1, -1, 0, ...)
3. PolynomialDalam bentuk polynomial di tulis dengan persamaan yang menggunakan konstanta Z.dimana Z merupakan Operator delay.
4. TRANSFORMASI WAVELET
Wavelet adalah fungsi matematika yang memotong-motong data menjadi kumpulan-kumpulan frekuensi yang berbeda, sehingga masing masing komponen tersebut dapat dipelajari dengan menggunakan skala resolusi yang berbeda. Wavelet merupakan sebuah fungsi variabel real t, diberi notasi Ψt dalam ruang fungsi L²(R).
Fungsi ini dihasilkan oleh parameter dilatasi dan translasi yang dinyatakan dalam persamaan :
dimana :
a = parameter dilatasi b = parameter translasi
ℜ = mengkondisikan nilai a dan b bernilai real 2j = parameter dilatasi
k = parameter waktu atau lokasi ruang Z = mengkondisikan nilai j dan k bernilai integer
Jika suatu citra dilakukan proses transformasi wavelet diskrit dua dimensi dengan level dekomposisi satu, maka akan menghasilkan empat buah subband, yaitu :
1. Koefisien Approksimasi (CA j+1) atau disebut juga subband LL
2. Koefisien Detil Horisontal (CD(h) j+1) atau disebut juga subband HL
3. Koefisien Detil Vertikal (CD(v) j+1) atau disebut juga subband LH
4. Koefisien Detil Diagonal (CD(d) j+1) atau disebut juga subband HH
Gambar 1. Dekomposisi 1
dengan Level Dekomposisi 1 Subband hasil dari dekomposisi dapat didekomposisi lagi karena level dekomposisi wavelet bernilai dari 1 sampai n atau disebut juga transformasi wavelet multilevel. Jika dilakukan dekomposisi lagi, maka subband LL yang akan didekomposisi karena subband LL berisi sebagian besar dari informasi citra. Jika dilakukan dekomposisi dengan level dekomposisi dua maka subband LL akan menghasilkan empat buah subband baru, yaitu subband LL2 (Koefisien Approksimasi 2), HL2 (Koefisien Detil Horisontal 2), LH2 (Koefisien Detil Vertikal 2), dan HH2 (Koefisien Detil Diagonal 2) (Saraswati).
Gambar 2. Dekomposisi 2
2. SEGMENTASI CITRA
Segmentasi citra adalah proses untuk memahami ciri citra secara lengkap. Segmentasi pada citra medis akan menghasilkan citra medis yang disertai batasan-batasan area yang merupakan ciri penting karena dapat menggali informasi untuk pengenalan pola guna keperluan analisis. Segmentasi membagi citra ke dalam bagian-bagian yang mempunyai korelasi kuat dengan adanya objek-objek di dalam citra. Citra medis yang tersegmentasi dengan baik akan didapatkan informasi batasan-batasan area dengan jelas, misalnya untuk keperluan deteksi sel tumor pada pasien. Informasi ini sangat membantu tenaga medis secara objektif dan akurat untuk melakukan analisis, diagnosis, perencanaan pengobatan, dan tindakan media yang diperlukan (Soesanti, 2008).
Ada beberapa metode untuk segmentasi citra, yaitu :
a. Thresholding
Thresholding adalah metoda paling sederhana dari segmentasi citra. Dari citra grayscale, thresholding dapat digunakan untuk membentuk citra biner. Sebuah citra biner adalah sebuah citra digital yang hanya memiliki dua kemungkinan nilai untuk tiap pixel. Kedua warna tersebut adalah hitam dan putih. Warna yang digunakan untuk object dalam citra adalah warna foreground sedangkan sisa dari citra adalah warna background (Saraswati).
b. Region growing
Metode region growing seperti menggabungan thresholding dengan kondisi konektivitas atau kriteria daerah homogenitas. Keberhasilan dari metode tersebut bergantung pada kepresisian informasi anatomi untuk meletakkan baik satu mapun beberapa pixel untuk masing-masing daerah homogen. Kelemahan lain dari metode region growing adalah metode tersebut hanya dapat bekerja dengan baik pada daerah yang homogen dan membutuhkan operator untuk menentukan daerah yang akan disegmentasi (Zhang) .
c. Shapebased
Metode shapebased juga memberikan pendekatan yang cukup sederhana dalam segmentasi citra namun sangat sulit dalam penentuan kontur awal sehingga ketidaktepatan dalam penentuan kontur awal dapat menyebabkan hasil segmentasi yang kurang memuaskan (Zhang).
d. Clustering
Metode statistik atau clustering didasarkan pada distribusi parameter tertentu. Hal terpenting dalam metode ini adalah melakukan estimasi definisi awal dari parameter sehingga bagus tidaknya segmentasi tergantung pada seberapa baik distribusi yang diasumsikan mendekati distribusi dari data. Pada kenyataanya, secara umum citra medis mengandung noise dan ketidakpastian distribusi yang tidak dapat diketahui sebelumnya.
3. REGION OF INTEREST (ROI)
Segmentasi citra sangat penting untuk menangani citra medis dengan memfasiltasi daerah yang penting dalam suatu citra atau disebut sebagai region of interest (ROI) (Shen, 2005). Sebuah citra dapat dianggap mengandung sub citra yang disebut region of interest ( ROI), atau daerah bagian dari citra yang memungkinkan diproses untuk menekan blur sementara bagian lain diproses untuk meningkatkan penampilan warna. Fungsi ROI adalah untuk mendeteksi garis yang masuk pada area tersebut. Sehingga apabila terdapat citra garis yang berada diluar ROI maka proses pendeteksi tidak dilakukan (Ardi,2012).
